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Sur le
concept de limite en psychanalyse
Michel Balat
Les Etats-Limites, Actes du colloque de la Grand Motte, Paris, AFPEP ed., 1993
Pourquoi les
mathématiques ?
Les mathématiques hantent la théorie psychanalytique depuis ses origines. On trouve chez Freud des considérations sur la notion de quantité (Esquisse, étude des pulsions, etc.), de limites et frontières comme dans cet extrait de Métapsychologie : “ Si, maintenant, nous abordons par le côté biologique l'examen de la vie d'âme, la pulsion nous apparaît comme un concept frontière entre animique et somatique, comme représentant psychique des stimulus issus de l'intérieur du corps et parvenant à l'âme, comme une mesure de l'exigence de travail qui est imposée à l'animique par suite de sa corrélation avec le corporel ”, de variations, de logique (L'interprétation des rêves), de topologie, etc., toutes notions qui sont le fond même de la réflexion mathématique. Depuis les travaux de Lacan, la logique et la topologie semblent avoir trouvé de nouveaux champs de développement dans notre science.
Cela devrait nous amener à nous interroger sur la place que les mathématiques peuvent occuper dans nos conceptualisations. Sans prétendre résoudre cette difficile question, je me bornerai à faire à ce propos quelques remarques. Les mathématiques sont une discipline où l'iconisme est dominant. Cela signifie que, pour l'essentiel, le travail mathématique porte sur des icônes (des images) qui doivent être cohérentes mais qui permettent aussi de soutenir les élaborations des mathématiciens. Un bon dessin suffit souvent comme preuve, la démonstration proprement dite n'étant là que pour vérifier la consistance d'ensemble. Non qu'il faille négliger la logique propre de ces constructions, bien au contraire. Mais il faut bien dire que, d'une part, une bonne icône suffirait pour convaincre les autre mathématiciens spécialistes du champ en question, et que, d'autre part, la démonstration elle-même est soumise à des règles de nature esthétique, toutes choses qui doivent relativiser la place spécifique de la logique déductive dans l'établissement et l'exposition des définitions, théorèmes, lemmes et corollaires. D'autant que le champ pratique propre de la découverte mathématique est le travail sur les icônes diagrammatiques, ce qui a pu faire dire que les mathématiques sont une science inductive (induction étant pris ici au sens de vérification et non de généralisation — terme auquel nous préférons, dans ce dernier sens, celui d'abduction).
Ainsi, de même que le psychanalyste laisse libre cours, par son attention qualifiée de flottante, à ce que j'appelle son “ musement ” [1], le mathématicien puise ses créations et ses convictions dans la beauté des icônes qui se présentent à lui. Irai-je jusqu'à dire, sur cette voie iconolâtre, que l'interprétation en psychanalyse est, fondamentalement, esthétique ? Ne me tentez pas trop !
La limite :
généralités
Parmi les grands concepts communs est celui de limite. Disons tout d'abord que l'origine du concept n'est pas grecque : une vraie rareté philosophique. Qu'il nous suffise ici de savoir qu'il devient central dans les préoccupations des mathématiciens dès le XVIIème siècle. Il faudra cependant attendre cette fabuleuse période qu'est la seconde moitié du XIXème siècle pour que s'engage un processus de définition du concept. On s'aperçoit alors à quel point limite et continuité sont liées.
Nous nous intéresserons ici à la notion de limite considérée sous trois aspects intriqués, à travers trois questions :
1— Qu'est-ce qui fonde la possibilité de la limite ?
2— Quelle est la réalité ou l'actualité de la limite ?
3— Quel est la fonctionnalité de la limite ?
Les ouverts
et la topologie
1— C'est la définition d'espace topologique qu'il nous faut aborder pour répondre à la première question. Disons qu'un espace topologique est un ensemble sur lequel nous avons pu définir un système, une famille d'ouverts. Première difficulté : la notion de topologie est dépendante de l'existence d'un système. Deuxième difficulté : il n'y a pas d'ouvert en soi, c'est-à-dire qu'être un ouvert, pour un sous-ensemble, dépend de la famille toute entière. On peut bien s'accommoder de la première difficulté. La seconde est plus délicate à traiter. Une famille d'ouverts répond à certaines conditions dont la plus distinctive est la double contrainte suivante : la réunion, le rassemblement de membres de la famille, quel qu'en soit le nombre, fini ou non fini, est un membre de la famille, et l'ensemble des points communs à un nombre fini de membres de la famille est un membre de la famille. La condition de réunion est plus dure que celle d'intersection. Un ensemble étant donné, chaque famille définit une topologie sur cet ensemble. Un même ensemble peut ainsi supporter plusieurs topologies.